Matemática básica Exemplos

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{y^{2} + 4 y + 3} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}$

Etapa 1

Fatore $y^{2} + 4 y + 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $4$ .

$1, 3$

Etapa 1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}$

Etapa 2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{y}{y + 1}$ por $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - (\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}) + \frac{12}{y + 3}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{y}{y + 1}$ por $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12}{y + 3}$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{12}{y + 3}$ por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12}{y + 3} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{12}{y + 3}$ por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12 (y + 1)}{(y + 3) (y + 1)}$

Etapa 2.5

Reordene os fatores de $(y + 3) (y + 1)$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y (y + 3) + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y \cdot y - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.2.1

Mova $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - (y \cdot y) - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 3.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 y + 12 \cdot 1}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 3.2.5

Multiplique $12$ por $1$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 3.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 9 y - 13 - 3 y + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $3 y$ de $- 9 y$ .

$\frac{y^{2} - 12 y - 13 + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 3.3.3

Combine os termos opostos em $y^{2} - 12 y - 13 + 12 y + 12$ .

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Etapa 3.3.3.1

Some $- 12 y$ e $12 y$ .

$\frac{y^{2} + 0 - 13 + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 3.3.3.2

Some $y^{2}$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - 13 + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 3.3.4

Some $- 13$ e $12$ .

$\frac{y^{2} - 1}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y - 1}{y + 3}$